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CINÉTIQUE ENZYMATIQUE
En séparant les deux variables, [] EA et t, nous obtenons :
dE A
kE
A
kA k
k
E A
dt
[]
[] []([]
) [
]
10
1
1
2
−+
+
⌠
⌡
⎮
=
−
∫
[3.46]
En dépit de son apparence plus complexe, le terme de gauche de cette équation a la
même forme que la plupart des intégrales que nous avons déjà rencontrées (§ 1.1)
et peut facilement être intégré en utilisant la même méthode. Nous obtenons ainsi
l’équation suivante :
ln[ [ ] [ ] ( [ ]
)[
]]
([]
)
kE
A
kA k
k
E A
kA k
k
t
10
1
1
2
11
2
−+
+
−+
+
=+
−
−
a
[3.47]
Au début de la réaction, aucun complexe EA n’est présent, c'est-à-dire que
[] EA = 0 quand t = 0, et donc nous obtenons une expression pour la constante a :
a = −+
+
−
ln([] [] )
([]
)
kE
A
kA k
k
10
11
2
[3.48]
et donc :
ln
kE
A
kA k
k
E A
kE
A
kA k
kt
10
1
1
2
10
11
2
[] []([]
) [
]
[] []
([]
)
−+
+
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =−
+
+
−
−
[3.49]
En prenant l’exponentielle de chaque terme de cette équation, nous obtenons :
1
11
2
10
11
2
−
++
=
−
−+
+
−
([]
) [
]
[] []
([]
)
kA k
k
E A
kE
A
kAk
kt
e
[3.50]
et en résolvant cette équation pour [EA], nous obtenons une expression de la
valeur instantanée de [EA] :
[]
[] [] (
)
[]
([]
)
EA
kE
A
kA k
k
kAk
kt
=
−
++
−+
+
−
−
10
11
2
1
11
2
e
[3.51]
La vitesse est donnée par vkE A
= 2 [] et, en substituant VkE = 20 []et
Kk
k k
m =+ −
() 12
1 , nous obtenons :
v
VA
KA
kAk
kt
m
=
−
+
−+
+
−
[] (
)
[]
([]
)
1
11
2
e
[3.52]
Pour de grandes valeurs de t, le terme exponentiel approche e
– ∝ , c'est-à-dire zéro,
et ainsi l’équation [3.52] devient identique à l’équation [3.36], c'est-à-dire à l’équation de MICHAELIS et MENTEN. La valeur de t pour laquelle cette simplification
s’applique dépend de la grandeur du terme ([]
)
–
kA k
k
11
2
++
: si ce dernier terme
est de l’ordre de 1 000 s
–1 (une valeur raisonnable dans la pratique), le terme
exponentiel prend une valeur inférieure à 0,01 pour des valeurs de t supérieures à
5 ms. En d’autres termes, l’équation [3.52] n’est plus distinguable de l’équation
de MICHAELIS et MENTEN après seulement quelques millisecondes.