7.7. MOYENNES DE CESARO
Solution.
1. On note l la limite de la suite (un)(nEN)· On remarque que:
VnEN,
1
n
Vn-l=- 1 2:(uk-l).
n+ k=O
Soit e un réel strictement positif.
3no EN*, Vn ~no lun - li < e.
Donc,
Vn ~no,
Le réel e et l'entier no étant fixés, la suite
n--+ _1_ lïl (uk - l )I
n + 1 k=O
est convergente vers O. Donc
~ L(uk-l) l
no-1
1
n+ k=O
D'où,
Vn ~ ni, lvn - li < 2e.
La suite (vn)(nEN) est convergente vers l.
85
2. Nous avons vu, dans l'exercice 7.7, page 81 que si ()est un réel non nul (à
271' près), la suite (un)(nEN) définie par
Vn EN, Un= cos(nO)
est divergente. Montrons que sa moyenne de Cesaro est convergente vers O.
Nous avons,
VnEN,
1
n
1
( n ik8) 1 (1- ei(n+1)8)
Vn = n + 1Lcos(kO)=n+1 ~ Le
= n + 1 ~
1- ei8
k=O
k=O
Donc
Vn EN, lvnl ~ n: 1 11 ~ ~(::1)81 ~ n: 1 l 1 _2 eie I ·
Cette suite est convergente vers O.