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SUITES RÉELLES
ii. Soit p un entier naturel. Montrons
Nous avons,
Ap C Ap+1 U { cos(pO)}.
Cet ensemble étant un fermé, il contient l'adhérence de AP' Ainsi,
(-1; 1] c Ap c Ap+l U {cos(pO)} c (-1; 1].
On obtient
Ap+l U {cos(pO)} = (-1; l].
Puisque [-1; 1] \ {cos(pO)} n'est pas un fermé, on a
Ap+l = (-1; 1].
On a ainsi montré que
Pp=> Pp+i·
iii. On en déduit que la proposition Pp est vraie pour tout entier naturel p.
(b) En utilisant la proposition 2.13. page 26, l'ensemble des valeurs d'adhérence
de la suite (cos( nO) )nEN est
n;~AP = (-1; l].
7. 7 Moyennes de Cesaro
Exercice 7 .9 On considère une suite réelle ( un)(nEN) et la suite ( vn)(nEN) définie
par:
Vn EN,
1
n
Vn = --1 LUk·
n+ k=O
La suite (vn)(nEN) est appelée moyenne de Cesaro de la suite (un)(nEN)1. Montrer que si la suite ( un)(nEN) converge alors la suite ( vn)(nEN) converge vers
la même limite.
2. Montrer avec un contre-exemple que la réciproque est fausse.