7.6. ÉTUDE DE LA SUITE COS NB (BER)
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(a) Montrer que Ao puis que les ensembles Av (p 2:' .: 0) sont denses dans
l'intervalle [-1, 1].
(b) En déduire que l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite est le segment
[-1, 1).
Solution.
1. On suppose que * est rationnel. On pose * = ~ avec q > O. Alors
Vn E N, Un+2q = Un.
La suite (un)(nEN) est périodique. L'ensemble des valeurs d'adhérence est
l'ensemble image de la suite. Elle est convergente si et seulement si elle est
constante, c'est-à-dire si () = 0 à 271" près.
2. La fonction cosinus étant paire et 27!" périodique, on a A = B.
3. Évident.
4. Supposons qu'il existe un réel m vérifiant G
nombres entiers k et k' -/= 0 tels que
()=km, 27!" = k'm.
On obtient
()
2k
; = îj E Q.
mZ. Il existe alors deux
Ceci est contraire à l'hypothèse. G n'est pas de la forme mZ. Il est dense
dans IR.
5. Pour tout entier naturel p, Av est inclus dans le fermé [-1, 1). Donc
Vp EN, Av c [-1, 1).
(a) On remarque que
Ao =A= B = cos(G).
Montrons que [-1, 1] c Ao. Soit y un élément de [-1, l]. Il existe un
réel x vérifiant y = cos x. G étant dense dans IR, il existe une suite
(gn)(nElll) d'éléments de G convergente vers x. La fonction cosinus est
continue,
lim (cosgn) = cosx =y.
n->+oo
y appartient à Ao. On en déduit que Ao = [-1, l].
Montrons que la proposition
P JI A= [-1 1]"
p.
p
'
'
est vraie pour tout entier naturel p.
i. On vient de montrer que la proposition est vraie au rang O.