82
SUITES RÉELLES
2. (a) 1er cas. sinO =f. O. Supposons que la suite (un){nEN) soit convergente.
Alors
lim (un+l - Un-1) =O.
n-++oo
Ce qui entraîne que la suite (vn){nEN) converge vers O. Ainsi,
puis
Et enfin,
lim (vn+l - Vn-1) = 0
n-++oo
lim Un= O.
n-++oo
lim (u; + v;) =O.
n-++oo
Ce qui est impossible. On conclut que la suite (un)(nEN) est divergente.
Avec un raisonnement similaire, on montre que la suite (vn)(nEN) est
divergente.
(b) 2° cas. sin(}= O.
i. Si(}= 2k7r où k est un entier, alors les suites (un)(nEN) et (vn)(nEN)
sont constantes et égales respectivement à 1 et O.
ii. Si (} = (2k + 1)71' où k est un entier, alors
VnEN, Un=(-l)netvn=O.
La suite (un)(nEN) est divergente et la suite (vn)(nEN) convergente.
En conclusion, la suite (cosnB){nEN) est convergente si et seulement si(}= 0 à
27!' près et la suite (sin nB)(nEN) est convergente si et seulement si (} = 0 à 7l' près.
"
Exercice 7.8 L'objet de cet exercice est l'étude des valeurs d'adhérence de la suite
définie par Un = cos nB, où (} est un réel fixé.
1. On suppose dans cette question $ rationnel. Montrer que la suite (un)(nEN) est
périodique. Que peut-on dire de l'ensemble de ses valeurs d'adhérence? Pour
quelles valeurs de (} la suite converge-t-elle?
2. Comparer les ensembles suivants :
A= {cosnB/n EN},
B = {cos(n(} + 2p7l')jn E Z,p E Z}.
3. Vérifier que G = { n(} + 2p7l' /n E Z, p E Z} est un sous-groupe de (IR., +).
On suppose désormais $ irrationnel.
4. Montrer que G est dense dans IR..
5. On considère pour tout entier naturel p, l'ensemble Ap défini par :
Ap = {cosnB/n 2 p}.