7.6. ÉTUDE DE LA SUITE COS NB (8 ER)
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Exercice 7.6 Soit f une application définie sur R à valeurs réelles, continue en 0 et
admettant 1 et v'2 pour périodes. Montrer que f est constante sur R
Solution. Considérons G le sous-groupe de (~, +) engendré par 1 et v'2.
G = {p + qh/(p, q) E Z 2 }.
Supposons que G soit de la forme ail. Il existerait alors deux entiers non nuls k et
k' vérifiant
1 = k.a
h = k'.a.
On aurait
k'
J2= k EQ.
Cela est impossible. Donc G est dense dans R
Considérons un réel x. Il existe une suite (gn)nEJ\I d'éléments de G convergente
vers x. La fonction f étant continue en 0, la suite (f(x - gn))nEJ\I est convergente,
avec
lim f(x - gn) = f(O).
n-++oo
Or,
Vn EN, f(x - gn) = f(x).
La suite (f(x-gn))nEJ\I est donc constante et égale à f(x). On obtient f(x) = f(O).
L'application f est constante.
..
..........
7.6 Étude de la suite cosnB (BE~)
Exercice 7.7 Le but de cet exercice est la recherche de l'ensemble des réels() pour
lesquels la suite (un)(nEN)o définie par Un= cosnB, est convergente et de l'ensemble
des réels () pour lesquels la suite ( vn)(nEN), définie par Vn = sin nB, est convergente.
1. (a) Écrire, pour tout entier n strictement positif, (un+l - Un-1) en fonction
de Vn·
(b) Écrire, pour tout entier n strictement positif, (vn+l - Vn-1) en fonction
de Un.
2. Conclure en discutant suivant les valeurs de sin B.
Solution.
1. (a)
Vn EN*, Un+l - Un-1 = -2sinnBsin() = -2vnsinB,
(b)
Vn EN*, Vn+i -Vn-1 = 2cosnBsin() = 2unsinB.