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SUITES RÉELLES
et
V(9i,92) E G 2 , 191 - 921 D'après la proposition 2.7, page 21, il existe une suite (9n)(nEN) d'éléments de
G convergente vers m. Cette suite est une suite de Cauchy. On peut choisir
un entier naturel no tel que
Vn;::: no, l9n - 9nol Donc
Vn;::: no, 9n = 9no·
La suite (9n)(nEN) est stationnaire à partir du rang no. On a,
9no = lim 9n = m.
n-++oo
Ceci prouve que m est élément de G. mZ est le sous-groupe additif de (IR.,+)
engendré par m. Ainsi, mZ CG.
-
Montrons réciproquement que G C mZ. Soit 9 un élément de G. En notant
E(x) la partie entière du réel x, on a
E (!) ~ ! < E (!) + 1,
donc
0 ~ 9 - mE ( !) < m.
9 - mE (-!!;,) est un élément de G vérifiant la double inégalité ci-dessus. Il
est donc nul. On obtient ..
9=mE(!).
Ce dernier élément appartient à mZ. Ainsi,
G=mZ.
4. On suppose désormais m = O. Soit x un réel et e un réel strictement positif.
Il existe un élément 9e de G vérifiant
0 < 9e < ê.
Nous avons
E (..:._) ~ ..:._ < E (..:._) + 1,
9e
9e
9e
donc,
0 ~X - E (~) 9e < 9e < ê.
En remarquant que E (;.) 9e est un élément de G, on en déduit que Gest
dense dans lR..