7.5. SOUS-GROUPES DE (.IR,+)
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4. Si ( un)(nEN) est une suite convergente, elle n'a qu'une seule valeur d'adhérence.
D'où
liminfun = limsupun.
n-++oo
n-++oo
Réciproquement, supposons
lim inf Un = lim sup Un.
n-++oo
n-++oo
Toute valeur d'adhérence l vérifie
lim inf Un :::; l :::; lim sup Un.
n-++oo
n-++oo
La suite (un)(nEN) n'admet donc qu'une seule valeur d'adhérence. Elle est de
plus bornée donc convergente. (Voir proposition 7.10. page 73.)
7 .5 Sous-groupes de (1~, +)
Exercice 7.5 Soit G un sous-groupe de (IR,+). Le but de cet exercice est de montrer
que G est, soit de la forme aZ où a est un réel, soit dense dans IR.
1. Étudier le cas G = {O}.
On suppose désormais que G =f. {O}.
2. Vérifier que
(G n IR+*)
est une partie non vide et minorée de R On note alors m sa borne inférieure.
3. On suppose m strictement positif. Montrer que m appartient à G puis que
G=mZ.
4. On suppose m = O. Montrer que G est dense dans IR.
Solution.
1. G =OZ.
2. Soit g un élément non nul de G. On a
Donc (G n IR+*) est une partie non vide de IR minorée par O. Notons m sa
borne inférieure. Ce réel est supérieur ou égal à O.
3. On suppose m réel strictement positif. Montrons qu'il appartient à G. Tout
d'abord, remarquons que
Vg E G, 0 :::; g < m =? g = 0