78
c'est-à-dire
Vn E N, m :::; Wn :::; Vn :::; M.
Les suites (vn)(nEN) et (wn)(nEN) sont bornées.
Soit n un entier naturel. On a,
An = An+l U {Un},
donc
An+l C An.
SUITES RÉELLES
La borne supérieure de An est un majorant de An, donc de An+l· La borne
supérieure étant le plus petit des majorants,
Vn+l = supAn+l:::; supAn = Vn·
La suite (vn)(nEN) est décroissante, minorée donc convergente.
De même, Wn = inf An, minorant de An est également minorant de An+l ·
La borne inférieure étant le plus grand des minorants, on obtient,
Wn+l = inf An+l ~ inf An= Wn·
La suite (wn)(nEN) est croissante, majorée donc convergente.
2. Pour tout entier naturel q, Vq et Wq sont les bornes supérieure et inférieure
de l'ensemble Aq· D'après le corollaire 2.9, page 22,
vq E Aq et Wq E Aq.
Soit p un entier naturel.
d'où,
Vq ~ p, Aq c Av·
On en déduit que (vq)q~p et (wq)q~p sont des suites d'éléments de Av- Cet
ensemble étant un fermé de ~. il contient les limites des deux suites, c'està-dire limsupn-++oo Un et liminfn-++oo Un· Ceci étant vrai pour tout entier
naturel p, on obtient
lim sup Un E npENAp
n-++oo
et
D'après la proposition 2.13, page 26, lim supn-++oo Un et lim infn-++oo Un sont
des valeurs d'adhérence de la suite (un)(nEN)·
3. Soit lune valeur d'adhérence de (un)(nEN)· Il existe une suite extraite (uip(n))(nEN)
convergente vers l. On a,
Vn E N, Wip(n) :::; Uip(n) :::; Vip(n).
En passant à la limite,
lim inf Un :::; l :::; lim sup Un.
n-++oo
n-++oo