7.4. LIMITE SUPÉRIEURE, LIMITE INFÉRIEURE
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La suite (Jn)(nEN) est convergente vers O. En effet,
VnEN,
D'où
l = lim Un = 1 + Io = 1 - 1 + e = e.
n-++oo
Ceci prouve que e est un nombre irrationnel.
7 .4 Limite supérieure, limite inférieure
Les définitions de la limite supérieure et limite inférieure d'une suite bornée
sont données sous forme d'un exercice.
Exercice 7.4 Soit (un)(nEN) une suite réelle bornée. Pour tout n EN , on pose
Vn = sup Up et Wn = inf Up.
p~n
p~n
l. Montrer que la suite ( vn)(nEN) est décroissante minorée et la suite ( wn)(nEN)
croissante majorée. On en déduit que ces deux suites sont convergentes et on
note
lim Vn = lim sup Un et lim Wn = lim inf Un
n-++oo
n-++oo
n-++oo
n-++oo
2. Montrer que ces deux limites sont des valeurs d'adhérence de la suite (un)(nEN)·
(On pourra utiliser la proposition 2.13, page 26.)
3. Montrer que, pour toute valeur d'adhérence l de la suite (un)(nEN)o on a
liminfun ~ l ~ limsupun.
n-++oo
n-++oo
4. En déduire que la suite (un)(nEN) converge si et seulement si
lim inf Un = lim sup Un.
n-++oo
n-++oo
Solution.
1. Considérons, pour tout entier naturel n, l'ensemble An défini par
An= {up;p 2 n} = {un,Un+i,Un+2 ... }.
La suite (un)(nEN) est bornée: Considérons Mun majorant de cette suite et
m un minorant. Alors,
Vn EN, m ~ infAn ~ supAn ~ M,