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SUITES RÉELLES
2. Prouver que l n'est pas rationnel. (On pourra supposer l = ~ et exploiter l'encadrement Uq < l < Vq.)
3. Pour tout n EN, on note In= f 0
1 ~~ e 1 -xdx.
Montrer que ' 4. En déduire que
lim Un= e,
n-++oo
et que e est un nombre irrationnel.
Solution.
1.
' 1
' 1
1
1
Vn+l - Vn = (n + 1)! + (n + l)(n + 1)! - n.n!
-1
- n(n + l)(n + 1)! ·
' 1
Vn-Un = f' n.
donc la suite (vn - un)(nEN•) est convergente vers O.
On en déduit que les suites (un)(nEN•) et (vn)(nEN•) sont adjacentes. Elles
sont donc convergentes vers une limite notée l.
2. Supposons que la limite commune l soit un nombre rationnel. Il existe deux
entiers strictement positifs vérifiant l =~-Les suites (un)(nEN•) et (vn)(nEN•)
étant strictement monotones, on a
Uq < l < Vq·
On en déduit
(t ~') < pq! < (t ~~') + 1.
k=O
k=O
On remarque que ces trois nombres sont trois entiers naturels dont le plus
petit et le plus grand sont consécutifs. Ceci est impossible, donc l n'est pas
un nombre rationnel.
3. Le résultat est évident à l'aide d'une intégration par partie.
4.
' n l
n
n-1
n
Un= L k! = 1+ L(Ik-1-h) = 1+ L i k - L i k = l+Io-In.
k=O
k=l
k=O
k=l