7.3. SUITES MONOTONES, SUITES ADJACENTES
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On en déduit que
't:/n E N, Un :s; Vn·
En utilisant la monotonie des suites ( un)nEJ\I et ( Vn)nEJ\I :
La suite ( un)nEJ\I est croissante et majorée par vo et la suite ( Vn)nEN est décroissante
et minorée par uo : elles sont toutes deux convergentes. Et,
lim Vn - lim Un= lim (vn - Un)= O.
n---++oo
n---++oo
n---++oo
On obtient l'inégalité indiquée dans la proposition grâce à la proposition 7.12 tft
Exercice 7.2 On pose, pour tout n 2 1, an= 1 + i +à+···+ ;2 = I:~=l b·
1. Montrer que, pourtoutn 2 1, an :s; 2-fï. (On pourra minorer, sur des segments
judicieusement choisis, l'intégrale de la fonction t --t fr·)
2. En déduire que la suite (an)(nEJ\I) converge.
Solution.
1. La fonction t --t b est décroissante sur JR.+*. Donc
D'où,
't:/k 2 2, 1 k dt 1k dt 1
2>
2=2·
k-1 t - k-1 k
k
n
1
n
1
n
rk dt
't:/n 2 2, an = L k2 = 1 + L k2 :s; 1 + L } k t2
k=l
k=2
k=2 k-1
= 1 + !n dt = 2 - .!_.
1 t2
n
Pour n = 1, nous avons égalité.
2. La suite (an)(nEJ\I) est croissante, majorée par 2 donc convergente.
Exercice 7.3 On définit deux suites (un)(nEJ\I•) et (vn)(nEJ\I•) par:
't:/n EN*
1
et Vn = Un + - - 1 •
n.n.
1. Montrer que ces deux suites sont adjacentes. On note l leur limite commune.