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SUITES RÉELLES
7 .3 Suites monotones, suites adjacentes
Définition : On dit qu'une suite réelle (un)nEN est
croissante si :
décroissante si :
Vn 2:: 0, Un+l :::; Un,
monotone si elle est croissante ou décroissante.
Proposition 7.12 Une suite réelle
croissante et majorée est convergente vers M = sup{un,n EN},
décroissante et minorée est convergente vers m = inf {Un, n E N}.
Preuve. Considérons une suite (un)(nEN) croissante et majorée. Notons M sa
borne supérieure. Soit e un réel strictement positif. Il existe un naturel no tel que
M - ê:::; Uno·
La suite étant croissante et M étant un majorant de la suite
Vn 2:: no, M - ê :::; Uno :::; Un :::; M.
Donc
Vn 2:: no, lun - Ml :::; ê.
La suite (un)(nEN) est convergente vers M.
On procède de même pour les suites décroissantes et minorées.
Définition : Deux suites réelles ( Un)nEN et ( Vn)nEN sont adjacentes si
l'une est croissante, l'autre est décroissante et si la suite (vn - un)nEN
est convergente vers O.
Proposition 7.13 Deux suites adjacentes sont convergentes vers une limite
commune notée l, avec
Vn E N, Vp E N, Un :::; l :::; Vp,
si la suite croissante est la suite (Un )nEN.
Preuve. Considérons deux suites (un)nEN et (vn)nEN adjacentes. Supposons la
suite (un)nEN croissante et la suite (vn)nEN décroissante. Les suites (un)nEN et
( -vn)nEN sont croissantes, donc la suite (Un - Vn)nEN l'est aussi. Cette dernière
est par hypothèse convergente vers O. D'après la proposition précédente,
sup(un - Vn) = lim(un - Vn) =O.
nEN
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