7.2. CONVERGENCE
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7.2.1 Caractérisation des suites réelles convergentes
Proposition 7.10 Une suite réelle (un)(nEN) est convergente si et seulement
si elle est bornée et n'a qu'une seule valeur d'adhérence.
Preuve. Nous savons que, dans tout espace métrique, une suite convergente est
bornée et n'a qu'une seule valeur d'adhérence (Voir la proposition 2.2, page 18
et la proposition 2.12, page 25). Montrons que la réciproque est vraie si l'on se
place dans IR. On considère une suite réelle (un)(nEN) bornée, n'ayant qu'une seule
valeur d'adhérence notée l. Choisissons un réel positif M vérifiant
'
Ae = {n EN, Un ~]l - ê, l + é[}.
Supposons que Ae soit un ensemble infini. On peut alors extraire une sous-suite
( Uip(n))(nElll) telle que
'
F = [-M,M] n (]l-t:,l +t:[t,
partie fermée bornée de IR, donc compacte. On peut en extraire une sous-suite
(uipoip'(n))(nElll) convergente vers un nombre réel noté l'. Ce réel l' appartient à F
car c'est un fermé de IR. Donc Il-l'i ~cet nous obtenons deux valeurs d'adhérence
distinctes, ce qui est impossible. L'ensemble Ae est donc fini. Soit n0 un majorant
strict de cet ensemble. On obtient
'
Remarque 7.2 La proposition précédente n'est pas toujours vérifiée sur un espace
métrique quelconque. On pourra trouver un contre-exemple sur un espace vectoriel
de dimension infinie dans l'exercice 12.1, page 165. Elle est vraie sur tout espace
vectoriel normé !Rn. La preuve est identique : Il suffit de remplacer l'intervalle
ouvert ]l - t:, l + c[ par la boule ouverte de centre l et de rayon c et de remplacer
la valeur absolue par une norme.
Par contraposée de la proposition précédente, nous obtenons
Proposition 7.11 Une suite réelle est divergente si et seulement si elle vérifie
l'une des deux conditions suivantes :
elle est non bornée,
elle est bornée et admet au moins deux valeurs d'adhérence.
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7.2.1 Caractérisation des suites réelles convergentes
Proposition 7.10 Une suite réelle (un)(nEN) est convergente si et seulement
si elle est bornée et n'a qu'une seule valeur d'adhérence.
Preuve. Nous savons que, dans tout espace métrique, une suite convergente est
bornée et n'a qu'une seule valeur d'adhérence (Voir la proposition 2.2, page 18
et la proposition 2.12, page 25). Montrons que la réciproque est vraie si l'on se
place dans IR. On considère une suite réelle (un)(nEN) bornée, n'ayant qu'une seule
valeur d'adhérence notée l. Choisissons un réel positif M vérifiant
'
Ae = {n EN, Un ~]l - ê, l + é[}.
Supposons que Ae soit un ensemble infini. On peut alors extraire une sous-suite
( Uip(n))(nElll) telle que
'
F = [-M,M] n (]l-t:,l +t:[t,
partie fermée bornée de IR, donc compacte. On peut en extraire une sous-suite
(uipoip'(n))(nElll) convergente vers un nombre réel noté l'. Ce réel l' appartient à F
car c'est un fermé de IR. Donc Il-l'i ~cet nous obtenons deux valeurs d'adhérence
distinctes, ce qui est impossible. L'ensemble Ae est donc fini. Soit n0 un majorant
strict de cet ensemble. On obtient
'
Remarque 7.2 La proposition précédente n'est pas toujours vérifiée sur un espace
métrique quelconque. On pourra trouver un contre-exemple sur un espace vectoriel
de dimension infinie dans l'exercice 12.1, page 165. Elle est vraie sur tout espace
vectoriel normé !Rn. La preuve est identique : Il suffit de remplacer l'intervalle
ouvert ]l - t:, l + c[ par la boule ouverte de centre l et de rayon c et de remplacer
la valeur absolue par une norme.
Par contraposée de la proposition précédente, nous obtenons
Proposition 7.11 Une suite réelle est divergente si et seulement si elle vérifie
l'une des deux conditions suivantes :
elle est non bornée,
elle est bornée et admet au moins deux valeurs d'adhérence.