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SUITES RÉELLES
1. Supposons que la suite (un)nEN converge vers un réel l >O. On considère le
réel strictement positif 4.
c'est-à-dire
En particulier,
3no E N, Vn ;?: no,
Vn;?: no,
l
l
--+l 2
n
2
Vn;?: no,
l
Un> 2 > Ü.
2. Il suffit de travailler avec la suite ( -un)nEN et appliquer la propriété précédente.
Corollaire 7.8 On considère deux suites (un)nEN et (vn)nEN convergentes respectivement vers les réels l et l'.
1. Si à partir d'un certain rang, Un S Vn alors l S l'.
2. Si M est un majorant de la suite (un)nEN, alors l SM.
3. Sim est un minorant de la suite (un)nEN, alors l ;?: m.
Preuve. Il suffit d'utiliser les propositions précédentes avec les suites respectives
1. (vn - Un)nEN1
2. (M - Un)nEN 1
3. (un - m)nEN·
Proposition 7.9 On considère (un)(nEN)• (vn)(nEN) et (wn)(nEN) trois suites
vérifiant
Vn E N, Un S Vn S Wn·
Si les suites (un)(nEN) et (wn)(nEN) convergent vers un même réel l, alors la
suite (vn)(nEN) est convergente et converge vers l.
Preuve. Soit e un réel strictement positif. Il existe un entier naturel n0 vérifiant
donc
Vn ;?: no, lun - li S e.
La suite (vn)(nEN) est convergente vers l.