7.2. CONVERGENCE
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Preuve. On considère deux suites U = (un)nEN et V = (vn)nEN convergentes
respectivement vers les réels l et l'. Soit e un réel strictement positif.
3n2 E N, Vn 2 n2, lvn - l'i < ê.
Considérons le naturel no= max(n1, n2)·
1.
' La suite U + V est convergente vers le réel l + l'
2. La suite V est convergente donc bornée. Il existe un réel strictement positif
M vérifiant
' Donc,
:::; lvnllun - li+ llllvn - l'i :::; (M + lll)e.
Le réel (M +Ill) étant une constante strictement positive, on en déduit que
la suite U x V est convergente vers ll'.
3. Nous supposons désormais quel' =f. O. La proposition 7.6 nous permet de dire
que, à partir d'un certain rang, les éléments de la suite V sont non nuls, donc
la suite !l.. est définie à partir de ce rang. L'application définie sur ~*, qui à x
associe r. est continue sur son ensemble de définition et en particulier en l'.
La suite -ft est donc convergente vers fr (voir proposition 3.4, page 34). En
utilisant la propriété précédente sur le produit de deux suites, on en déduit
que la suite i? est convergente vers ~.
Proposition 7.6 Soit (un)nEN une suite convergente vers un réel l. Alors,
1. l > 0 ::::} 3N E N, Vn :' .:: N, Un > O.
2. l < 0::::} 3N EN, ' Les contraposées sont les suivantes
Proposition 7.7 Soit (un)nEN une suite convergente vers un réel l. Alors,
1. ' 2. ' Preuve. Preuve de la proposition 7.6