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SUITES RÉELLES
Rappel:
Définition : On dit qu'une suite réelle (un)nEN est de Cauchy si
Ve > 0, 3no E N/Vn ~ no, 't:/p ~ no, lun - uvl < E:.
D'après le théorème admis 4.2, page 42, nous avons la proposition:
Proposition 7 .3 Une suite réelle est convergente si et seulement si elle est
de Cauchy.
Proposition 7 .4 Une suite réelle convergente est bornée.
Remarque 7.1 Le théorème-définition 7.2 et la proposition 7.4 ne sont que les
cas particulier du théorème-définition 2.1, page 17 et de la proposition 2.2, page
18, appliqués au cas des suites réelles.
Il Définition : Une suite non convergente est divergente.
Exercice 7.1 Soit (un)(nEN) une suite à valeurs dans Z.
Montrer que (un)(nEN) converge si et seulement si elle est stationnaire.
Solution. On considère une suite (un)(nEN) à valeurs dans Z et convergente donc
de Cauchy. Il existe un entier no tel que
't:/n ~no,
Tous les éléments de la suite étants des nombres entiers, on obtient
't:/n ~no, Un= Uno·
La suite (un)(nEN) est stationnaire.
La réciproque est évidente.
tft
Proposition 7.5 On considère deux suites U = (un)nEN et V = (vn)nEN
convergentes respectivement vers les réels l et l'. Alors les suites U + V et
U x V sont convergentes vers, respectivement, les réels l + l' et l x l'. Sil' =f 0,
la suite ~ est définie à partir d'un certain rang et converge vers fr.
SUITES RÉELLES
Rappel:
Définition : On dit qu'une suite réelle (un)nEN est de Cauchy si
Ve > 0, 3no E N/Vn ~ no, 't:/p ~ no, lun - uvl < E:.
D'après le théorème admis 4.2, page 42, nous avons la proposition:
Proposition 7 .3 Une suite réelle est convergente si et seulement si elle est
de Cauchy.
Proposition 7 .4 Une suite réelle convergente est bornée.
Remarque 7.1 Le théorème-définition 7.2 et la proposition 7.4 ne sont que les
cas particulier du théorème-définition 2.1, page 17 et de la proposition 2.2, page
18, appliqués au cas des suites réelles.
Il Définition : Une suite non convergente est divergente.
Exercice 7.1 Soit (un)(nEN) une suite à valeurs dans Z.
Montrer que (un)(nEN) converge si et seulement si elle est stationnaire.
Solution. On considère une suite (un)(nEN) à valeurs dans Z et convergente donc
de Cauchy. Il existe un entier no tel que
't:/n ~no,
Tous les éléments de la suite étants des nombres entiers, on obtient
't:/n ~no, Un= Uno·
La suite (un)(nEN) est stationnaire.
La réciproque est évidente.
tft
Proposition 7.5 On considère deux suites U = (un)nEN et V = (vn)nEN
convergentes respectivement vers les réels l et l'. Alors les suites U + V et
U x V sont convergentes vers, respectivement, les réels l + l' et l x l'. Sil' =f 0,
la suite ~ est définie à partir d'un certain rang et converge vers fr.