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SUITES RÉELLES
L'exercice suivant nous donne un exemple de suite bornée divergente dont la
moyenne de Cesaro est également divergente.
Exercice 7.10 On considère la suite (un)(nEN*) définie par:
Un= (-l)E(log2n),
où E(x) représente la partie entière de x. On considère la suite (Sn)(nEN*) des sommes
partielles, définie pour n ~ 1 par,
n
Sn= LUk·
k=l
1. Montrer que la suite (S2n+1_1 - S2n-1)(nEN*) est géométrique.
2. En déduire la valeur de S2n-1 pour tout entier strictement positif n.
On considère la suite moyenne de Cesaro :
1 n
Vn = - LUk·
n k=l
3. Montrer que la suite (vn)(nEN*) a au moins deux valeurs d'adhérence. En déduire
qu'elle est divergente.
Solution.
1.
2.
2n+1_l
't:/n EN*, S2n+1-1 - S2n-1 = L Uk
n-1
= (-lt(2nH - 2n)
= (-2r.
't:/n ~ 2, S2n-1 = L(S2k+1-1 - S2k-1) + U1
k=l
n-1
= L::(-2)k + 1
k=l
n-1
= L::(-2)k
k=O
1-(-2)n
3