7.8. RELATIONS DE COMPARAISONS
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L'égalité est aussi vérifiée pour n = 1.
3. On remarque que :
-
1
1- (-2r -
2n
( 1
n+l)
'v'nEN*, V(2n-1J-2n-1·
3
-3(2n-l)" 2n+(-l)
.
On en déduit que les suites extraites (v(22n_l))nEN• et (v(22n+L 1J)nEN• convergent respectivement vers ;/ et l· La suite (vn)(nEN•) admet au moins
deux valeurs d'adhérence. La suite (vn)nEN* est divergente.
7.8 Relations de comparaisons
Remarque 7.3 La notion de comparaison de suites est importante et très utilisée
en analyse, en particulier pour les séries. Cette section, placée en fin de chapitre,
est d'une moindre utilité pour l'étude des suites et de leur convergence éventuelle.
Seul le corollaire 7.21 peut être utile pour établir la convergence d'une suite vers un
réel non nul. On peut noter, en outre, qu'une suite dominée ou négligeable devant
une suite convergente vers 0 est également convergente vers O.
7.8.1 La relation 0
Définition : On dit que la suite U = (un)(nEN) est dominée par la suite
V = ( vn)(nEN) s'il existe un réel positif 1vI et un entier positif no tels que
Il Définition : On note O(V) l'ensemble des suites dominées par V.
Remarque 7.4 Lorsqu'une suite U est dominée par une suite V, on pourra, par
abus d'écriture, noter U = O(V) ou Un= O(vn)·
Exemples:
V= O(V).
0(1) est l'ensemble des suites bornées. On remarque, avec cet exemple, qu'une
suite dominée par une suite convergente n'a aucune raison de converger.
Un= O(~) signifie que la suite (nun) est bornée.