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SUITES RÉELLES
7.8.2 La relation o
Définition : On dit que la suite U = (un)(nEN) est négligeable ou infiniment petite devant la suite V= (vn)(nEN) si
'v'ê > 0, 3ne EN, 'v'n ~ne, lunl ~ êlvnl·
Il Définition : On note o(V) l'ensemble des suites négligeables devant V.
Remarque 7.5 Lorsqu'une suite U est négligeable devant une suite V, on pourra,
par abus d'écriture, noter U = o(V) ou Un= o(vn)·
Exemple:
o(l) est l'ensemble des suites convergentes vers O.
Un= o(~) signifie que la suite (nun) est convergente vers O.
Proposition 7.14 La suite U = (un)(nEN) est négligeable devant la suite V=
(vn)(nEN) si et seulement si il existe une suite (an)(nEN) convergente vers 0
vérifiant,
Preuve. On suppose dans un premier temps que Un = o(vn)· On définit la suite
(an)nEN par
'v'n EN, an = { ~ si Vn =f 0,
0 si Vn =O.
La suite (un)(nEN) étant négligeable devant la suite (vn)(nEN) ,
Donc,
'v'n ~ ni, Vn = 0 =? Un = O.
On obtient ainsi
Montrons que la suite (an)(nEN) est convergente vers O.
Soit ê un réel strictement positif.
Nous obtenons,
'v'n ~ne, lanl ~ ê.
La suite (an)(nEN) est ainsi convergente vers O.
La réciproque est évidente.