7.8. RELATIONS DE COMPARAISONS
Corollaire 7.15 On suppose qu'il existe un entier no tel que pour tout n
supérieur à no, on ait Vn f. O. Alors la suite U = (un)(nEN) est négligeable
devant la suite V= (vn)(nEN) si et seulement si
7.8.3 L'équivalence
l .
Un
Ü
lm - = .
n-++oo Vn
Il
Définition: On dit que la suite U = (un)(nEN) est équivalente à la suite
V= (vn)(nEN) si (U - V)= o(V). On note U,...., V.
De la proposition 7.14, découle la proposition suivante,
Proposition 7.16 Une suite U = (un)(nEN) est équivalente à la suite V =
(vn)(nEN) si et seulement si il existe une suite (an)(nEN) convergente vers 0
vérifiant,
On peut en déduire
Proposition 7.17 Une suite U = (un)(nEN) est équivalente à la suite V=
(vn)(nEN) si et seulement si il existe une suite (œn)(nEN) convergente vers 1
vérifiant,
Corollaire 7.18 La relation,...., est une relation d'équivalence.
Corollaire 7.19 Lorsque deux suites réelles sont équivalentes, si l'une est
convergente, l'autre est aussi convergente vers la même limite.
Proposition 7.20 On suppose qu'il existe un entier no tel que pour tout n
supérieur à no, on ait Vn f. O. Alors la suite U = (un)(nEN) est équivalente à
la suite V= (vn)(nEN) si et seulement si
l .
Un
l
lm - = .
n-++oo Vn
Corollaire 7.21 Soit l un réel non nul. Une suite (un)nEN est convergente
vers l si et seulement si
Un,...., l.
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