TABLE DES MATIÈRES
13.6 Rectification d'un arc paramétré
13.6.1 Définition . . . . . . . . .
13.6.2 Longueur d'un arc paramétré compact de classe C 1
13.7 Exercices . . . .
14. Intégrales généralisées
14.1 Définition de l'intégrale généralisée
14.2 Cas des fonctions positives . . . . .
14.3 Propriétés des intégrales généralisées
14.3.1 Critère de Cauchy . . . . . .
14.3.2 Intégrales absolument convergentes .
14.3.3 Règle d'Abel . . . . . .
14.3.4 Intégration par parties . . . .
14.3.5 Changement de variable ...
14.3.6 Comportement asymptotique
15. Séries à valeurs dans un espace vectoriel normé
15.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2 Convergence des séries à termes réels positifs
15.3 Convergence des séries à termes réels .
15.4 Séries à valeurs dans un Banach .. .
15.4.1 Critère de Cauchy . . . . . . .
VII
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203
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237
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238
247
248
248
15.4.2 Série absolument convergente .
248
15.4.3 Série commutativement convergente
250
15.4.4 Familles sommables . . . . . . . . .
251
15.4.5 Produit de Cauchy de deux séries à valeurs dans une algèbre
de Banach . . . . .
252
15.5 Exemples d'espaces lP(JR)
15.5.1 Espaces Z 2 (JR)
15.5.2 Espaces l 1 (JR)
255
255
257
15.6 Exercices . . . . . .
258
16. Suites de fonctions. Divers types de convergence
269
16.1 Convergence simple . .
269
16.2 Convergence uniforme . . . . . . . . . . .
269
16.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . .
269
16.2.2 Critère de Cauchy uniforme. Cas des e.v.n. complets
270
16.2.3 Propriétés des limites . . . . . . . . . . . .
271
16.3 Produit de convolution. Approximations de l'unité
274
16.3.1 Produit de convolution. .
274
16.3.2 Approximation de l'unité
275
16.3.3 Théorème de Weierstrass
282
16.4 Convergences en moyennes . . . .
283
16.5 Comparaison des différents types de convergence
285