VI
TABLE DES MATIÈRES
11. Vitesse et accélération de convergence de suites réelles
147
11.1 Vitesse de convergence d'une suite réelle . . . .
147
11.1.1 Premiers exemples de vitesse de convergence
148
11.1.2 Suites convergentes vers e . . . . . . . . . . .
149
11.1.3 Suites convergentes vers 7r • • • • • • . • . . .
152
11.1.4 Suites convergentes vers un point fixe attractif
153
11.2 Accélération de la convergence d'une suite . .
154
11.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . .
154
11.2.2 Méthode d'accélération de Richardson .
154
11.2.3 Itération de la méthode de Richardson .
156
11.2.4 Méthode d'accélération d'Aitken
158
12. Espaces vectoriels normés
161
12.1 Définitions . . . . . .
161
12.2 Comparaisons de normes.
162
12.3 Normes équivalentes . . .
163
12.4 Espaces vectoriels normés de dimension finie .
164
12.4.1 Normes équivalentes en dimension finie
164
12.5 Applications linéaires continues . . . . . . . . .
167
12.5.1 Caractérisation des applications linéaires continues
167
12.5.2 L'espace vectoriel normé Cc(E, F) . . . . . . . . .
169
12.5.3 Exemples de normes d'applications linéaires continues
173
12.6 Espaces vectoriels normés de dimension finie . . .
178
12.6.1 Applications linéaires . . . . . . . . . . .
178
12.6.2 Continuité et dérivabilité des applications
179
12. 7 Formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
180
12.8 Prolongement d'une application linéaire continue
182
13. Intégration sur un segment
183
13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
183
13.1.1 Le cadre . . . . . . . . . . . . . . . . .
183
13.1.2 (CM[a,b],IE) = (C[a,b],JE) + (t'[a,b),JE)
183
13.1.3 (t'([a,b),JE)) sous-espace vectoriel dense
de (CM([a,b],JE),11.11=)..........
185
13.2 Construction de l'intégrale de Riemann sur un segment
186
13.2.1 Intégrale d'une fonction en escalier sur un segment
186
13.2.2 Propriétés de l'intégrale d'une fonction en escalier
186
13.2.3 Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment187
13.3 Propriétés élémentaires de l'intégrale .
188
13.4 Calcul d'une intégrale . . . . . . . . . .
190
13.4.1 Calcul à l'aide d'une primitive .
190
13.4.2 Cas où JE est de dimension finie .
191
13.4.3 Intégration par parties . . . . . .
192
13.4.4 Changement de variables . . . .
193
13.4.5 Intégrale sur une période d'une application périodique
195
13.4.6 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
196
13.4.7 Exemple de somme de Riemann: La méthode des rectangles 198
13.5 Les formules de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
TABLE DES MATIÈRES
11. Vitesse et accélération de convergence de suites réelles
147
11.1 Vitesse de convergence d'une suite réelle . . . .
147
11.1.1 Premiers exemples de vitesse de convergence
148
11.1.2 Suites convergentes vers e . . . . . . . . . . .
149
11.1.3 Suites convergentes vers 7r • • • • • • . • . . .
152
11.1.4 Suites convergentes vers un point fixe attractif
153
11.2 Accélération de la convergence d'une suite . .
154
11.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . .
154
11.2.2 Méthode d'accélération de Richardson .
154
11.2.3 Itération de la méthode de Richardson .
156
11.2.4 Méthode d'accélération d'Aitken
158
12. Espaces vectoriels normés
161
12.1 Définitions . . . . . .
161
12.2 Comparaisons de normes.
162
12.3 Normes équivalentes . . .
163
12.4 Espaces vectoriels normés de dimension finie .
164
12.4.1 Normes équivalentes en dimension finie
164
12.5 Applications linéaires continues . . . . . . . . .
167
12.5.1 Caractérisation des applications linéaires continues
167
12.5.2 L'espace vectoriel normé Cc(E, F) . . . . . . . . .
169
12.5.3 Exemples de normes d'applications linéaires continues
173
12.6 Espaces vectoriels normés de dimension finie . . .
178
12.6.1 Applications linéaires . . . . . . . . . . .
178
12.6.2 Continuité et dérivabilité des applications
179
12. 7 Formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
180
12.8 Prolongement d'une application linéaire continue
182
13. Intégration sur un segment
183
13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
183
13.1.1 Le cadre . . . . . . . . . . . . . . . . .
183
13.1.2 (CM[a,b],IE) = (C[a,b],JE) + (t'[a,b),JE)
183
13.1.3 (t'([a,b),JE)) sous-espace vectoriel dense
de (CM([a,b],JE),11.11=)..........
185
13.2 Construction de l'intégrale de Riemann sur un segment
186
13.2.1 Intégrale d'une fonction en escalier sur un segment
186
13.2.2 Propriétés de l'intégrale d'une fonction en escalier
186
13.2.3 Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment187
13.3 Propriétés élémentaires de l'intégrale .
188
13.4 Calcul d'une intégrale . . . . . . . . . .
190
13.4.1 Calcul à l'aide d'une primitive .
190
13.4.2 Cas où JE est de dimension finie .
191
13.4.3 Intégration par parties . . . . . .
192
13.4.4 Changement de variables . . . .
193
13.4.5 Intégrale sur une période d'une application périodique
195
13.4.6 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
196
13.4.7 Exemple de somme de Riemann: La méthode des rectangles 198
13.5 Les formules de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199