TABLE DES MATIÈRES
8. Fonctions dérivables
8.1 Dérivation des fonctions vectorielles
8.1.1 Définition . . . . . . . . . . .
8.1.2 Développement limité d'ordre 1
8.1.3 Dérivée d'une fonction composée
8.1.4 Dérivées d'ordre supérieur . . . .
8.1.5 Applications de classe Ck par morceaux
8.2 Cas où JE est de dimension finie . . . . . . . . .
8.2.1 Expression de la dérivée par rapport à une base .
8.2.2 Arc paramétré, arc géométrique . . .
8.3 Cas des fonctions à valeurs réelles . . . . . .
8.3.1
8.3.2
8.3.3
8.3.4
8.3.5
8.3.6
Dérivée d'une application réciproque
Dérivée en un extremum local . . . .
Les théorèmes de Rolle . . . . . . . .
Le théorème des accroissements finis
Applications du théorème des accroissements finis
La formule de Taylor-Lagrange ..
8.4 Cas des fonctions à valeurs dans un e.v.n.
8.4.1
8.4.2
8.4.3
8.4.4
Inégalité des accroissements finis .
Inégalité de Taylor-Lagrange ...
La formule de Taylor avec reste intégral (JE Banach)
La formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . .
9. Comparaison locale ou asymptotique de fonctions
9.1 Relations de comparaison
9.1.1 La relation 0
9.1.2 La relation o .. .
9.1.3 L'équivalence .. .
9.2 Développements asymptotiques
9.3 Développements limités . . . .
9.3.1 Définition, propriétés ..
9.3.2 Développement limité et dérivation .
9.3.3 Opérations sur les développements limités
10. Suites définies par une récurrence
10.1 Définitions, exemples . . . . . . . . . . . . .
10.1.1 Suites récurrentes d'ordre 1 . . . . .
10.1.2 Suites récurrentes d'ordre k (k EN*)
10.2 Théorème du point fixe pour un espace métrique complet
10.3 Théorème du point fixe pour un espace métrique compact
10.4 Suites réelles récurrentes d'ordre 1 . . . . . . . . .
10.4.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4.2 Points fixes attractifs, points fixes répulsifs
10.4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V
91
91
91
91
94
96
97
98
98
100
100
100
103
104
106
107
111
112
112
114
114
115
119
120
120
120
122
124
124
124
127
128
131
131
131
133
134
136
138
138
139
141