IV
TABLE DES MATIÈRES
4. Espaces métriques complets
41
4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . .
41
4.1.1 Suites de Cauchy . . . . . .
41
4.1.2 Espaces métriques complets
42
4.2 Exemples d'espaces métriques complets
42
4.2.1 Espaces vectoriels normés de dimension finie
42
4.2.2 Espace fonctionnel . . . . . . . . . . . . . .
43
4.2.3 Partie fermée d'un espace métrique complet
44
4.3 Propriétés des espaces métriques complets
46
4.3.1 Fermés emboîtés . . . . . . . . . . . . . . .
46
4.3.2 Théorème du point fixe . . . . . . . . . . .
46
4.3.3 Prolongement d'une fonction uniformément continue
47
5. Espaces métriques compacts
51
5.1 Définition, exemples . . . . . . . . . . . .
51
5.2 Propriétés d'un espace métrique compact
52
5.3 Produit d'espaces compacts . . . . . . . .
54
5.4 Caractérisation des compacts d'un espace vectoriel de dimension
finie muni d'une norme sup
54
5.5 Compacts et continuité .
55
5.6 Applications . . . . . . .
58
6. Espaces connexes
59
6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
6.2 Connexité et continuité . . . . . . . . . . . . .
59
6.3 Une caractérisation des connexes, applications .
59
6.4 Les parties connexes de lR. . . . . . .
61
6.5 Fonctions continues sur un intervalle
62
6.6 Connexité par arcs . . . . . . .
62
6.6.1 Applications . . . . . .
63
6.7 Homéomorphismes d'intervalles
66
6.8 Composantes connexes . . . . .
67
7. Suites réelles
69
7.1 Définition, structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
7.2 Convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
7.2.1 Caractérisation des suites réelles convergentes .
73
7.3 Suites monotones, suites adjacentes .
74
7.4 Limite supérieure, limite inférieure
77
7.5 Sous-groupes de (JR., +) . . . . .
79
7.6 Étude de la suite cosnO (0 E JR.) .
81
7. 7 Moyennes de Cesaro . . . .
84
7.8 Relations de comparaisons .
87
7.8.1 La relation 0
87
7.8.2 La relation o
88
7.8.3 L'équivalence
89