Table des matières
1. Topologie sur les espaces métriques
1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Diamètre d'une partie, distance entre deux parties
1.2.2 Espace métrique produit . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Produit scalaire, norme euclidienne, norme hermitienne
1.4.1 Définitions . . . . . . . . . .
1.4.2 Exemples . . . . . . . . . . .
1.4.3 Inégalité de Cauchy-Schwarz
1.5 Topologie d'un espace métrique
1.5.1 Boule, sphère
1.5.2 Ouverts . . . . . . .
1.5.3 Fermés . . . . . . . .
1.5.4 Adhérence, intérieur
1.5.5 Métrique induite
1
1
4
5
5
5
7
7
8
9
12
12
12
13
14
16
2. Suites dans un espace métrique
17
2.1 Définitions, convergence. . . . . . . . .
17
2.2 Suites dans un espace vectoriel normé
19
2.3 Caractérisation séquentielle . . . . . .
20
2.3.1 Caractérisation séquentielle des bornes supérieure et inférieure 20
2.3.2 Caractérisation séquentielle de l'adhérence .
22
2.3.3 Caractérisation séquentielle d'un fermé .
23
2.4 Suites extraites, sous-suites . . . . . . . . . . .
24
3. Continuité et limite dans les espaces métriques
3.1 Continuité ponctuelle, continuité sur un espace métrique .
3.2 Continuité uniforme sur un espace métrique
3.3 Limite d'une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Continuité et limite . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Caractérisation séquentielle de la limite et de la continuité .
3.4.1 Caractérisation séquentielle de la limite ..
3.4.2 Caractérisation séquentielle de la continuité . .
3.5 Caractérisation topologique de la continuité . . . . . .
3.6 Applications à valeurs dans u~ff pace vectoriel normé
29
29
31
33
34
35
35
37
37
38