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ESPACES CONNEXES
Proposition 6.15 Une composante connexe est un connexe.
'Preuve. La relation n est donc une relation d'équivalence. Soit X un élément de
E. La classe d'équivalence de x est l'union de tous les connexes contenant x. Il
est évident que l'intersection de chacun de ces connexes avec le connexe { x} est
non vide. D'après la proposition 6.5, cette union de connexes est un connexe. Une
classe d'équivalence est donc connexe.
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Proposition 6.16 Un espace métrique est connexe si et seulement s'il n'a
qu'une seule composante connexe.
Preuve. On considère un espace métrique (E, d).
1. Supposons que E n'ait qu'une seule composante connexe. Donc E est une
composante connexe. Nous savons qu'une composante connexe est un connexe.
Donc E est connexe.
2. Supposons que E ait au moins deux composantes connexes. Considérons a
et b deux éléments de E n'appartenant pas à la même composante. Ils ne
sont pas en relation et il n'existe aucun connexe les contenant. Donc E n'est
pas un connexe.
Remarque 6.2 On peut également définir les composantes connexes par arcs. Il
suffit de reprendre toute la section en remplaçant le mot « connexe » par « connexe
par arcs».