6.8. COMPOSANTES CONNEXES
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3. La fonction cosinus est continue et strictement décroissante sur [O, 7r]. Elle
induit une bijection de [O, 7r] sur [-1, l]. Sa réciproque est une fonction continue sur [-1, 1] strictement décroissante et appelée «Arc cosinus» et notée
arccos.
4. La fonction tangente est continue et strictement croissante sur]-~,~[. Elle
induit une bijection de]-~, ~ [sur R Sa réciproque est une fonction continue
sur R, strictement croissante, appelée « Arc tangente » et notée arctan.
5. On appelle «cosinus hyperbolique» et on note ch l'application définie sur R
par
ch: R ~ [1,+oo[
e"'+e-"'
2
Cette application est continue et strictement croissante sur l'intervalle R±.
Sa restriction à cet intervalle réalise une bijection de l'intervalle R± sur
l'intervalle ]1, +oo[. Sa réciproque est une application continue définie sur
l'intervalle ]1, +oo[ à valeurs sur l'intervalle R±. Elle est appelée «Argument
cosinus hyperbolique » et notée arg ch.
6. On appelle «sinus hyperbolique » et on note sh l'application définie sur R
par
sh: R ~ R
X
!----?
Cette application est continue et strictement croissante sur R Elle réalise
une bijection de R sur lui-même. Sa réciproque est une application continue
définie sur l'intervalle R Elle est appelée « Argument sinus hyperbolique »
et notée arg sh.
6.8 Composantes connexes
Théorème-définition 6.14 Soit (E, d) un espace métrique. On considère sur
E la relation
xRy {::} (3Cconnexe de E tel que x E C, y E C).
Cette relation est une relation d'équivalence. Une classe d'équivalence est appelée composante connexe.
Preuve.
1. Pour tout X élément de E, {X} est connexe et xnx. La relation n est réflexive.
2. V(x,y) E E 2 , xRy::::} yRx. La relation Rest symétrique.
3. On considère x, y et z trois éléments de E vérifiant xRy et yRz. Il existe
un connexe C contenant x et y et un connexe C' contenant y et z. C U C'
est l'union de deux connexes d'intersection non vide. Il est donc connexe. x
et z lui appartiennent. Ainsi, xRz. La relation R est transitive.