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ESPACES CONNEXES
Preuve. Pour montrer que l'application l est continue sur I, utilisons la proposition 6.11. Supposons, sans perdre de généralité, l strictement croissante.
1. Soit J un intervalle inclus dans J. On considère a et b deux éléments de J
vérifiant a < b. Considérons un réel À vérifiant
l(a) < À < l(b).
L'ensemble l(I) étant un intervalle, le réel À appartient à celui-ci. On en
déduit qu'il existe un élément c de I vérifiant
·
l(c) =À.
L'application l étant strictement croissante, nous obtenons,
a< c < b.
On en déduit que l vérifie la propriété des valeurs intermédiaires.
2. Soit y un élément de l(I). L'application l étant strictement monotone, elle
est injective. L'ensemble 1- 1 ( {y}) est ainsi un singleton donc un fermé de I.
On déduit, d'après la proposition 6.11, que l'application l est continue sur I. .t.
6. 7 Homéomorphismes d'intervalles
Proposition 6.13 Soit I un intervalle et l : If-+ IR une application continue
sur I. Si l est strictement monotone, elle réalise un homéomorphisme entre I
et l(I).
Preuve. Ceci est la conséquence des propositions 6.9 et 6.12
Exemples:
1. Soit n un entier naturel non nul. L'application
l : JR+ ---+ JR+
est continue, strictement croissante, vérifiant l(O) = 0 et limx-->+oo l(x) =
+oo. C'est donc une bijection de JR+ sur JR+ dont la réciproque est continue
sur JR+. Cette réciproque est appelée fonction racine nième et notée
1-1 : JR+ ---+ JR+
X f-+ y'x.
2. La fonction sinus est continue et strictement croissante sur [- ~, ~ J. Elle
induit une bijection de [-~, ~] sur [-1, l]. Sa réciproque est une fonction
continue sur [-1, lj strictement croissante et appelée «Arc sinus» et notée
arcsin.
ESPACES CONNEXES
Preuve. Pour montrer que l'application l est continue sur I, utilisons la proposition 6.11. Supposons, sans perdre de généralité, l strictement croissante.
1. Soit J un intervalle inclus dans J. On considère a et b deux éléments de J
vérifiant a < b. Considérons un réel À vérifiant
l(a) < À < l(b).
L'ensemble l(I) étant un intervalle, le réel À appartient à celui-ci. On en
déduit qu'il existe un élément c de I vérifiant
·
l(c) =À.
L'application l étant strictement croissante, nous obtenons,
a< c < b.
On en déduit que l vérifie la propriété des valeurs intermédiaires.
2. Soit y un élément de l(I). L'application l étant strictement monotone, elle
est injective. L'ensemble 1- 1 ( {y}) est ainsi un singleton donc un fermé de I.
On déduit, d'après la proposition 6.11, que l'application l est continue sur I. .t.
6. 7 Homéomorphismes d'intervalles
Proposition 6.13 Soit I un intervalle et l : If-+ IR une application continue
sur I. Si l est strictement monotone, elle réalise un homéomorphisme entre I
et l(I).
Preuve. Ceci est la conséquence des propositions 6.9 et 6.12
Exemples:
1. Soit n un entier naturel non nul. L'application
l : JR+ ---+ JR+
est continue, strictement croissante, vérifiant l(O) = 0 et limx-->+oo l(x) =
+oo. C'est donc une bijection de JR+ sur JR+ dont la réciproque est continue
sur JR+. Cette réciproque est appelée fonction racine nième et notée
1-1 : JR+ ---+ JR+
X f-+ y'x.
2. La fonction sinus est continue et strictement croissante sur [- ~, ~ J. Elle
induit une bijection de [-~, ~] sur [-1, l]. Sa réciproque est une fonction
continue sur [-1, lj strictement croissante et appelée «Arc sinus» et notée
arcsin.