6.6. CONNEXITÉ PAR ARCS
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La proposition suivante permet de répondre à la question : « Que faut-il à une
application vérifiant la propriété des valeurs intermédiaires pour être continue ? »
Proposition 6.11 Soit I un intervalle de ~ et f : I --t ~ une application. f
est continue sur I si et seulement si :
1. f vérifie la propriété des valeurs intermédiaires,
2. pour tout réel y, 1- 1 ({y}) est un fermé de I.
Preuve. Si f est une application continue, les assertions 1 et 2 (voir proposition
3.8, page 37) sont vérifiées.
Considérons maintenant une application f définie sur un intervalle I, vérifiant la
propriété des valeurs intermédiaires et discontinue en un point x élément de I. Il
existe un réel é vérifiant
Ya > 0, 3y E I/ly- xi< a et lf(y) - f(x)I > é.
On peut ainsi constuire une suite (Yn)nEN d'éléments de I vérifiant
YnEN,
Soit
1
IYn -xi< - - 1 ,
n+
lf(Yn) - f(x)I > é.
N1 = {n EN/ f(Yn) > f(x)}, N2 = {n EN/ f(Yn) < f(x)}.
Nous avons N1 U N2 = N. Donc soit Ni, soit N2, est une partie de N de cardinal
infini. Supposons, par exemple, que N1 le soit. Il existe alors (Ycp(n))nEN suite
extraite de (Yn)nEN vérifiant
YnEN,
1
IYcp(n) - xi < n + l' f(Ycp(n)) - f(x) > é.
L'application f vérifiant la propriété des valeurs intermédiaires, choisissons pour
tout entier naturel n, un réel Zn compris entre x et Ycp(n) vérifiant
f(zn) = f(x) + é.
L'ensemble
n'est pas un fermé car la suite (zn)nEN d'éléments de A est convergente vers x
n'appartenant pas à A. Ce qui termine la preuve.
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Cette proposition nous permet de démontrer le résultat suivant :
Proposition 6.12 On considère un intervalle I et une application f définie
sur I et à valeurs réelles. Si
1. f(I) est un intervalle,
2. f est strictement monotone,
alors f est continue sur I.