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ESPACES CONNEXES
Cette application est continue sur TJ, donc g(TJ) est une partie connexe de R
Montrons que
g(TJ) c J'(J) c g(TJ).
Soit (x, y) un élément de TJ. On remarque, en utilisant le théorème des accroissements finis, que le réel
g(x, y) = f(x) - f(y)
x-y
appartient à f' ( J). On obtient
g(TJ) c f'(J).
Soit x un élément de J. Considérons une suite (xn)nEJ\l d'éléments de J \ {x}
convergente vers x. D'après la proposition 3.5, page 35, nous avons
lim f(xn) - f(x) = f'(x).
n-++oo
Xn - X
Le réel f'(x) appartient donc à l'adhérence de g(TJ). Ainsi,
J'(J) c g(TJ).
D'après la proposition 6.4, page 60, f'(J) est une partie connexe de lR donc un
intervalle.
4' t
Exercice 6.1 On considère la fonction f définie sur lR par f(x) = x 2 sin U) six=/= 0
et f(O) =O.
1. Montrer que la fonction f est dérivable sur lR de dérivée non continue en O.
2. En déduire qu'il existe des fonctions définies sur un intervalle, non continues et
vérifiant la propriété des valeurs intermédiaires.
Solution.
1. L'application f est dérivable sur lR avec
\lx E JR*, f'(x) = 2xsin (~) - cos(~)
et
/'(O) = lim xsin (~) =O.
x-+O
X
L'application f' est discontinue en 0 car limn-++oo !'( 2 };.n) = -1.
2. L'application f' est une dérivée, donc vérifie la propriété des valeurs intermédiaires et est discontinue en O.