6.6. CONNEXITÉ PAR ARCS
63
Preuve. On considère (E, d) un espace métrique connexe par arcs. Considérons
f une application continue de E vers {O, 1}. Soient a et b deux éléments de E.
Il existe 'Y un chemin de E vérifiant "f(O) = a et "f(l) = b. L'application f o 'Y
est une application continue de l'intervalle [O; 1] vers {O, l}. Cette application est
constante. Donc,
f(b) = f ('Y(l)) = f ('Y(O)) = f(a).
On en déduit que f est constante et que E est connexe.
6.6.1 Applications
Proposition 6.9 Soit f une application à valeurs réelles, définie et continue
sur un intervalle I. Notons I' l'intervalle image. Alors f réalise une bijection
de I sur I' si et seulement si l'application f est strictement monotone.
Preuve. Remarquons que f réalise une bijection de I sur J' si et seulement si elle
est injective.
Si l'application f est strictement monotone, elle est injective.
Supposons f injective. Considérons Tr la partie de 1 2 définie par
Tr = {(x,y) E 1 2 /x
sur Tr par
V(x,y) E Tr, g(x, y)= f(x) - f(y}.
x-y
Cette application est continue sur Tr, donc g(Tr) est une partie connexe de ~.
c'est-à-dire un intervalle. La fonction f étant injective, cet intervalle ne contient
pas O. Nous avons alors deux cas
- Soit g(T) est inclus dans ~+*, alors l'application est strictement croissante.
- Soit g(T) est inclus dans~-*, alors l'application est strictement décroissante.
Proposition 6.10 (de Darboux) Soit I un intervalle de~ et f : I --t ~ une
application dérivable. Alors l'application f' vérifie la propriété des valeurs intermédiaires.
"'
Preuve. Soit J un intervalle inclus dans J. Considérons TJ la partie de J2 définie
par
TJ = {(x,y) E J 2 /x
sur TJ par
V(x,y) E TJ, g(x, y)= f(x) - f(y).
x-y
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Preuve. On considère (E, d) un espace métrique connexe par arcs. Considérons
f une application continue de E vers {O, 1}. Soient a et b deux éléments de E.
Il existe 'Y un chemin de E vérifiant "f(O) = a et "f(l) = b. L'application f o 'Y
est une application continue de l'intervalle [O; 1] vers {O, l}. Cette application est
constante. Donc,
f(b) = f ('Y(l)) = f ('Y(O)) = f(a).
On en déduit que f est constante et que E est connexe.
6.6.1 Applications
Proposition 6.9 Soit f une application à valeurs réelles, définie et continue
sur un intervalle I. Notons I' l'intervalle image. Alors f réalise une bijection
de I sur I' si et seulement si l'application f est strictement monotone.
Preuve. Remarquons que f réalise une bijection de I sur J' si et seulement si elle
est injective.
Si l'application f est strictement monotone, elle est injective.
Supposons f injective. Considérons Tr la partie de 1 2 définie par
Tr = {(x,y) E 1 2 /x
sur Tr par
V(x,y) E Tr, g(x, y)= f(x) - f(y}.
x-y
Cette application est continue sur Tr, donc g(Tr) est une partie connexe de ~.
c'est-à-dire un intervalle. La fonction f étant injective, cet intervalle ne contient
pas O. Nous avons alors deux cas
- Soit g(T) est inclus dans ~+*, alors l'application est strictement croissante.
- Soit g(T) est inclus dans~-*, alors l'application est strictement décroissante.
Proposition 6.10 (de Darboux) Soit I un intervalle de~ et f : I --t ~ une
application dérivable. Alors l'application f' vérifie la propriété des valeurs intermédiaires.
"'
Preuve. Soit J un intervalle inclus dans J. Considérons TJ la partie de J2 définie
par
TJ = {(x,y) E J 2 /x
sur TJ par
V(x,y) E TJ, g(x, y)= f(x) - f(y).
x-y