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ESPACES CONNEXES
6.5 Fonctions continues sur un intervalle
Définition : Soient I un intervalle réel et f une application définie J, à
valeurs réelles. On dit que f vérifie la propriété des valeurs intermédiaires
si, pour tout intervalle J inclus dans I, f(J) est un intervalle.
Remarque 6.1 La propriété « f(I) est un intervalle » est plus faible que la propriété des valeurs intermédiaires. En voici un exemple : On considère l'application
f définie sur le segment [O, 4] par
{
\lx E [O, 2], f(x) = 3x,
\lx E]2, 4], f (x) = -x + 4.
Nous avons
J([O, 4]) = (0, 6] U (0, 2] = (0, 6].
L'image par l'application f de l'intervalle [O, 4] est l'intervalle (0, 6]. En revanche,
l'image par f de l'intervalle (1,4] n'est pas un intervalle. En effet,
f ((1, 4]) = (3, 6] u (0, 2[.
Théorème 6. 7 Soient I un intervalle et f : I --+ lR une application continue
sur I à valeurs réelles. Alors l'application f vérifie la propriété des valeurs
intermédiaires.
Preuve. Soit J un intervalle inclus dans J. La restriction de l'application f à
l'intervalle J est continue. D'après la proposition précédente, f ( J) est un intervalle.
On en déduit que f vérifie la propriété des valeurs intermédiaires.
•
6.6 Connexité par arcs
Définition : Soit (E, d) un espace métrique. On appelle chemin de E
toute application continue 7: [O, 1] --+ (E, d). L'image 7((0, 1]) du chemin
s'appelle un arc, 7(0) l'origine, 7(1) son extrémité.
Il
Définition : Soit (E, d) un espace métrique. On dit que E est connexe
par arcs si pour tout (a, b) E E 2 , il existe un arc inclus dans E d'origine
a et d'extrémité b.
Exemple: Toute partie convexe non vide d'un espace vectoriel normé est connexe
par arcs.
Théorème 6.8 Un espace connexe par arcs est connexe.