6.4. LES PARTIES CONNEXES DE lR
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Donc
On en déduit :
\lx E UieICi, f(x) = aio·
L'application f est constante et UierCi est connexe.
6.4 Les parties connexes de IR
Commençons par donner la définition d'un intervalle.
Définition : Soit I une partie de R On dit que I est un intervalle si
V(x, y) E 1 2 , \/z E ~. x <::. z z E J.
Théorème 6.6 Les parties connexes de ~ sont les intervalles de ~Preuve. Soit C une partie de ~1. On suppose que C ne soit pas un intervalle de R Il existe (a, b) E C 2 et x ~ C
vérifiant
a< X< b.
Alors () - oo, x[nC) et (]x, +oo[nC) sont deux ouverts non vides de C formant
une partition de C. C n'est donc pas connexe.
2. On suppose que C soit un intervalle de R Soit f une application continue
sur C à valeurs dans { 0, 1}. Soient a et b deux éléments de C vérifiant a < b.
Montrons que f(a) = f(b). On note
A= {t E [a,b]/f(t) = f(a)}.
A est une partie non vide de ~ majorée par b. Sa borne supérieure to est
un réel appartenant à [a, b], donc à C. En tant que borne supérieure, to est
limite d'une suite (an)neN d'éléments de A. Grâce à la continuité de f, on
obtient f(to) = limn_,+00 f(an) = f(a). Supposons to < b. La suite (to + 2 ~)
converge vers to. Il existe un rang no vérifiant
\ln;:::: no, (to + 2 ~) E [a,b] \A
donc
\ln;:::: no, If (to + 2 ~) - /(to)I = 1.
Ceci est impossible puisque f est continue en to. Donc to = b et f(b) = f(a).
L'application f est constante et C est connexe.