60
ESPACES CONNEXES
Proposition 6.3 Un espace métrique (E, d) est connexe si et seulement si
toute application continue f: E---+ {O, 1} est constante.
Preuve. Supposons E connexe. Soit f une application continue. f(E) étant connexe
et {O; 1} ne l'étant pas, nous avons
f(E) = {O} ou J(E) = {1}.
L'application f est donc constante.
Supposons E non connexe. Il existe Oo, 01 deux ouverts de E, non vides, tels que
Considérons l'application f définie sur Epar
f(x) = 0,
f(x) = 1.
L'image réciproque par f de tout ouvert est un ouvert. En effet,
Cette application f est continue et non constante.
Proposition 6.4 Soit A une partie connexe d'un espace métrique ( E, d). Si
une partie B de E vérifie Ac B c A, alors B est connexe.
Preuve. Soit f une application continue sur B à valeurs dans {O, 1 }. La restriction
de f à A est continue donc constante sur A. Il existe un élément c E {O, 1} tel que
pour tout a E A, f(a) = c. Si b appartient à B donc à l'adhérence de A, il existe
une suite (an)nEN d'éléments de A convergente vers b. f étant continue, on obtient
f(b) = limn_,+00 f(an) = c. L'application f est constante sur B. On en déduit que
B est un connexe de E.
ll$t
Proposition 6.5 Soit (Ci)iEI une famille de connexes d'un espace métrique
(E, d) telle que
3io E l, \li E l, Ci n Cio =/. 0.
Alors UiEICi est connexe.
Preuve. Considérons une application f définie et continue sur UiEICi à valeurs
dans {O, 1}. Soit i élément del. La restriction de f au connexe Ci est continue
donc constante. Notons ai, la valeur de cette constante. Choisissons Xi élément de
Ci n Cio. Nous avons,