Chapitre 6
Espaces connexes
6.1 Définition
Il
Définition : Soit (E, d) un espace métrique. On dit que (E, d) est
';_nnexe si les seules parties, à la fois ouvertes et fermées, sont 0 et
Proposition 6.1 Un espace métrique (E, d) est connexe si et seulement si il
n'existe pas de partition de E en deux ouverts.
6.2 Connexité et continuité
Proposition 6.2 On considère (E, d) et (E', d') deux espaces métriques. Si
E est connexe et 1 est une application continue de E vers E', alors l(E) est
connexe.
Preuve. Soit 8 un ouvert-fermé de l(E). D'après la proposition 3.8, page 37,
1- 1 (8) est un ouvert-fermé de E. D'où
1- 1 (8) = 0 ou 1- 1 (8) = E.
Donc
8 = 0 ou 8 = l(E).
1 (E) est connexe.
6.3 Une caractérisation des connexes, applications
On considère l'ensemble {O, 1} muni de la distance usuelle. Nous remarquons
que toute partie de cet ensemble est ouverte et fermée. C'est le plus simple espace
métrique non connexe. Il est un outil précieux pour étudier la~ connexité d'un
espace métrique.