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ESPACES MÉTRIQUES COMPACTS
5.6 Applications
1. Théorème 5.16 Toutes les normes définies sur un même espace vectoriel réel
de dimension finie sont équivalentes.
Ce théorème est démontré page 164.
2. Proposition 5.17 Une suite à valeurs dans JR.P est convergente si et seulement
si elle est bornée et n'a qu'une seule valeur d'adhérence.
Pour la preuve, on pourra voir la proposition 7.10 page 73 et la remarque
7.2.
Par contraposée, on obtient :
Proposition 5.18 Une suite à valeurs dans JR.P est divergente si et seulement
si elle vérifie l'une des deux conditions suivantes :
elle est non bornée,
elle est bornée et admet au moins deux valeurs d'adhérence.
3. Théorème 5.19 (D'Alembert Gauss) Tout polynôme non constant de C(X]
admet au moins une racine dans C.