5.5. COMPACTS ET CONTINUITÉ
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Si l'on suppose que l'ensemble h- 1 ([e, +oo[) est vide alors, pour tout réel strictement positif a, la propriété précédente est vérifiée.
L'application f est ainsi uniformément continue sur E.
"9
Corollaire 5.15 Une application définie et continue sur un segment, à valeurs
dans un espace métrique, est uniformément continue.
Exercice 5.1 Montrer que si f : lR --t lR est continue et périodique, elle est uniformément continue sur R
Solution. Considérons Tune période de l'application f. Nous savons, d'après la
proposition 5.14, que la restriction de f au segment [-T, 2T] est une application
uniformément continue.
Fixons un réel strictement positif e.
3a > 0, \l(x, y) E [-T, 2T] 2 , lx - YI Notons a'= min( a, T). Considérons deux réels x et y vérifiant
lx -yl En notant E, la fonction partie entière,
d'où,
En remarquant que y - T.E ( T) = y - x + x - T.E ( T), on obtient,
-T:::; -a'< y-T.E (f) Sachant que
l(x -TE (f)) - (y - TE (f)) =lx -yl on obtient,
1 f ( x) - f (y) 1 = 1 f ( ( x - TE ( f)) - f (Y - TE ( f))) 1 < ê.
L'application f est ainsi uniformément continue sur R