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ESPACES MÉTRIQUES COMPACTS
Preuve. f(E) est une partie compacte de IR, donc bornée. f(E) admettant une
borne supérieure, il existe une suite (xn)nEN d'éléments de E vérifiant
sup f(x) = lim f(xn)·
xEE
n-++oo
E étant un espace compact, il existe une suite extraite (xcp(n))(nEN) convergente
vers un élément b de E. L'application f étant continue
f(b) = lim f(xcp(n))) = lim f(xn) = sup f(x).
n-++oo
n-++oo
xEE
On procède de même pour la borne inférieure.
Nous verrons dans le chapitre 6, que le théorème 6.7 page 62 indique que l'image,
par une application continue à valeurs réelles, d'un intervalle est un intervalle. En
utilisant les propositions 5.9, 5.11 et le corollaire 5.8, nous pouvons énoncer
Corollaire 5.13 Soit f une application définie et continue sur un segment
[a, b] à valeurs réelles. L'image par l'application f du segment [a, b] est un
segment [ c, d].
De plus si f est injective, f réalise un homéomorphisme entre les segments
[a, b] et [c, d].
Proposition 5.14 (Heine) Soient (E, d) un espace métrique compact, (F, d')
un espace métrique et f : E --+ F une application continue. Alors f est uniformément continue sur E.
Preuve. L'ensemble produit Ex E, muni de la métrique produit, est un espace
métrique compact. On définit sur cet espace, l'application h par
h : E X E ----+ JR+
(x, y) ~ d'(f(x), f(y)).
Cette application est continue sur Ex E (voir exercice 3.4 page 33). Soit e un réel
strictement positif. On considère la partie de E x E définie par
h- 1 ([e,+oo[) = {(x,y) E Ex E/d'(f(x),f(y));::: e}.
On suppose dans un premier temps que cette partie est non vide. Elle est fermée
dans l'espace compact Ex E. Elle est donc compacte. On définit sur cette partie
l'application continue g par
g: h- 1 ([e, +oo[) ----+ JR+
(x,y)
~ d(x,y).
L'application g est bornée et atteint ses bornes. La borne inférieure, que l'on
note a, est strictement positive car, pour tout élément (x, y) de h- 1 ([e, +oo[), on
d(x, y) > O. Ainsi,
\i(x, y) E Ex E, d(x, y) d'(!(x), f(y)) < e.