5.5. COMPACTS ET CONTINUITÉ
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Considérons maintenant A une partie fermée et bornée de (E, 11·11 00 ). Il existe un
réel strictement positif r tel que A soit incluse dans B f ( 0, r). A fermé de E est un
fermé de B f (0, r) compact. On en déduit que A est compacte.
tft
Corollaire 5.8 Un intervalle de lR est un compact si et seulement si c'est un
segment.
5.5 Compacts et continuité
Proposition 5.9 Soient (E, d) un espace métrique compact, (F, d') un espace
métrique et I : E ~ F une application continue. Alors l(E) est une partie
compacte de F.
Preuve. Considérons (Yn)nEJ'\I une suite d'éléments de l(E) et une suite (xn)nEJ'\I
d'éléments de E vérifiant
't:/n E N, Yn = l(xn)·
E étant compact, il existe une suite extraite (xrp(n))(nElll) convergente vers un
élément l de E. L'application I étant continue sur E, la suite (f(xrp(n)))(nElll) est
convergente et
limn-++ooYrp(n) = limn-++ool(Xrp(n)) = l(l).
La suite (Yn)nEJ'll admet une sous-suite convergente. l(E) est compact.
tft
Corollaire 5.10 Toute application définie et continue sur un espace métrique
compact à valeurs dans un espace métrique est bornée.
Proposition 5.11 Soient (E, d) un espace métrique compact, (F, d') un espace
métrique et I : E ~ F une application continue. Si I est injective, alors I
réalise un homéomorphisme entre E et l(E).
Preuve. L'application I étant injective, I réalise une bijection entre E et l(E).
Notons 1- 1 l'application réciproque. Soit E' une partie fermée de E. Nous avons
(f- 1 )- 1 (E') = l(E'). La partie E' est compact puisque partie fermée d'un compact. L'application f étant continue, l(E') est un compact donc partie fermée de
f(E). On vient de montrer que l'image réciproque d'un fermé de Epar l'application 1- 1 est un fermé de f(E). 1- 1 est donc une application continue.
tft
Proposition 5.12 Soient E un espace compact et f: E ~ lR continue. Alors
f est bornée et atteint ses bornes : Il existe deux éléments a et b de E vérifiant
f(a) = inf f(x), f(b) = sup f(x).
xEE
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