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ESPACES MÉTRIQUES COMPACTS
5.3 Produit d'espaces compacts
Proposition 5.5 Soient E 1 et E2 deux espaces métriques compacts. Alors l'espace produit E 1 x E 2 muni de la métrique produit est compact.
Preuve. Considérons Xp = (xp, Yp) une suite d'éléments de E 1 x E2. L'espace
Ei étant compact, il existe une suite (x'P 1 (p))(nEN) extraite de la suite (xp)(pEJ\I)
et convergente dans E 1 vers un élément x. La suite (Yipi(p))(pEN) est une suite
du compact E2. Il existe (Yip 1 oip 2 (p))(pEN) suite extraite convergente dans E2 vers
un élément y. On en déduit que(Xip 1 oip 2 (p))(pEN) suite extraite de la suite Xp =
(xp, Yp), converge, dans Ei x E2 muni de la métrique produit, vers (x, y).
'9
Proposition 5.6 On considère n espaces métriques compacts Ei, E2 ···En.
Alors l'espace produit Ei x E2 x · · · x En muni de la métrique produit est
compact.
La preuve peut se faire par récurrence en utilisant la proposition précédente.
5.4 Caractérisation des compacts d'un espace
vectoriel de dimension finie
muni d'une norme sup
Proposition 5. 7 Soient E un espace vectoriel sur lR de dimension n (n E N*)
et (ei, e2, .. · , en) une base de E. On considère 11·11 00 la norme définie sur E
par:
où (xi, x2, · · · , Xn) sont les coordonnées de x dans la base (ei, e2, · · · , en)·
Une partie de E munie de la norme 11-11 00 est compacte si et seulement si elle
est fermée et bornée.
Preuve. La condition est nécessaire d'après la proposition 5.4.
Montrons d'abord, que pour tout réel r strictement positif, B1(0, r) la boule fermée
de centre 0 et de rayon r est une partie compacte de (E, 11-11 00 ). On considère
l'application

vectoriel normé (E, 11·11 00 ) définie par
n
'v'(ai,a2,··· ,an) E [-r,rt, cp(a1,a2,··· ,an)= Lakek.
k=l
L'application cp est isométrique donc lipschitzienne de rapport 1 et donc continue.
L'espace métrique ([-1, l]n, 11-11 00 ) est compact donc, d'après la proposition 5.9,
l'image de cp, B1(0,r), est un compact.