5.2. PROPRIÉTÉS D'UN ESPACE MÉTRIQUE COMPACT
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Preuve. On considère un espace métrique compact (E, d) et a un élément de E.
Supposons dans un premier temps que l'ensemble
{d(a,x)/x E E}
soit non majoré. Alors, pour tout n EN, choisissons un élément an de E vérifiant
d(a,an) ~ n.
L'espace métrique (E, d) étant compact, il existe une suite extraite (acp(n))(nEN)
convergente vers un élément l de E. Nous savons (voir exercice 3.2, page 31) que,
pour l'application qui à tout élément x de E associe d(a, x), est lipschitzienne donc
continue sur E. Ainsi, la suite (d(a, acp(n)))(nEN) est convergente et
lim d(a, acp(n))) = d(a, l).
n-++oo
Ceci est impossible car la suite (d(a,acp(n)))(nEN) est non bornée. En effet,
'in EN, d(a, acp(n)) ~ cp(n) ~ n.
On en déduit que l'ensemble
{d(a, x)/x E E}
est borné. Il existe un réel positif M vérifiant
'VxEE, d(a,x)::;M.
Donc,
'Vx E E, 'Vy E E, d(x, y) ::; d(x, a)+ d(a, y) ::; 2M.
Un espace métrique compact est ainsi borné.
Proposition 5.4 Soient (E, d) un espace métrique et A une partie de E.
1. Si A est une partie compacte de E, alors A est un fermé borné de E.
2. Si E est compact et A une partie fermée de E, alors A est compacte.
Preuve.
1. Si A est une partie compacte de E, alors A est bornée, d'après la proposition
précédente. Montrons que A est une partie fermée de E. Considérons une
suite (an)nEN d'éléments de A, convergente vers un élément l de E. A étant
compacte, il existe une suite extraite (acp(n))(nEN) convergente dans A. Or
la limite de cette suite extraite est égale à l. Donc l est un élément de A.
D'après la caractérisation séquentielle des fermés (proposition 2.10, page 23),
A est un fermé de E.
2. Soient (E, d) un espace métrique compact et A une partie fermée de E.
On considère (an)nEN une suite d'éléments de A donc de E. Il existe une
suite extraite (acp(n))(nEN) convergente dans E. Les éléments de cette suite
appartiennent au fermé A, la limite également. La suite extraite (acp(n))(nEN)
est donc convergente dans A. A est une partie compacte de E.