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ESPACES MÉTRIQUES COMPACTS
de segments ([ap, bp))pEN définie par
[ao, bo] = [a, b]
puis pour tout entier naturel p,
{
[ ap, ap~be] si l'ensemble { n E N/un E [ap, av~be]} est infini,
[ap+l' bp+i] =
[ ap~be, bp] sinon.
Cette suite décroissante de fermés vérifie limp-++oo ô([ap, bp]) =O. D'après la proposition 4.8, page 46, il existe un réel l vérifiant
Sachant, que pour tout naturel p, l'ensemble { n E N/ Un E [ap, bpi} est infini, on
peut définir (ucp(n))(nEN) une suite extraite de (un)nEN par
Or,
{
VnEN, VnEN,
b-a
d(ucp(n)> l) :::; ~·
On en déduit que la suite extraite (ucp(n))(nEN) est convergente vers l. Le segment
[a, b] est un compact.
4'
5.2 Propriétés d'un espace métrique compact
Proposition 5.2 Un espace métrique compact est complet.
Considérons (E,d) un espace métrique compact et (un)nEN une suite de Cauchy
de cet espace. Soit ê un réel strictement positif.
3no EN/ Vp;::: no, Vq;::: no, d(up, uq) < ê.
L'espace E étant compact la suite (un)nEN admet une suite extraite (ucp(n))(nEN)
convergente vers un élément l de E :
3N EN/ l) < ê.
Donc,
Vp;::: no, d(up, l) :::; d(up, Ucp(N)) + d(ucp(N)> l) < 2ê.
La suite (un)nEN est convergente et l'espace métrique (E, d) est complet.
Proposition 5.3 Un espace métrique compact est borné.