Chapitre 5
Espaces métriques compacts
5.1 Définition, exemples
Il
Définition :Propriété de Bolzano-Weierstrass.
Un espace métrique (E, d) est compact si toute suite de E admet une
sous-suite convergente.
Exemple: L'ensemble~, muni de la norme usuelle, n'est pas un espace métrique
compact. En effet, considérons la suite réelle ( Un)nEN définie par
Vn E .N, Un = n.
Considérons maintenant (ucp(n))nEN une suite extraite de la suite (un)nEN· Nous
avons
Vn E .N, ucp(n) =
Voici un exemple très important de compacts.
Théorème 5.1 Tout segment [a, b] de~ est compact.
Preuve. On considère un segment [a, b] et (un)nEN une suite définie sur ce segment.
Le segment [a, b], muni de la distance induite, est un espace métrique complet car
il est un fermé de~, lui-même complet. En remarquant que, pour tout segment
[a, ,B], on a
a+,B
a+,B
{n E .N/un E [a,,B]} = {n E .N/un E [a, - 2 -]} U {n E .N/un E [ - 2 -,,B]},
on en déduit que, si l'ensemble située à gauche de l'égalité est infini, alors au
moins l'un des deux situés à droite l'est aussi. On considère la suite décroissante
Espaces métriques compacts
5.1 Définition, exemples
Il
Définition :Propriété de Bolzano-Weierstrass.
Un espace métrique (E, d) est compact si toute suite de E admet une
sous-suite convergente.
Exemple: L'ensemble~, muni de la norme usuelle, n'est pas un espace métrique
compact. En effet, considérons la suite réelle ( Un)nEN définie par
Vn E .N, Un = n.
Considérons maintenant (ucp(n))nEN une suite extraite de la suite (un)nEN· Nous
avons
Vn E .N, ucp(n) =
Voici un exemple très important de compacts.
Théorème 5.1 Tout segment [a, b] de~ est compact.
Preuve. On considère un segment [a, b] et (un)nEN une suite définie sur ce segment.
Le segment [a, b], muni de la distance induite, est un espace métrique complet car
il est un fermé de~, lui-même complet. En remarquant que, pour tout segment
[a, ,B], on a
a+,B
a+,B
{n E .N/un E [a,,B]} = {n E .N/un E [a, - 2 -]} U {n E .N/un E [ - 2 -,,B]},
on en déduit que, si l'ensemble située à gauche de l'égalité est infini, alors au
moins l'un des deux situés à droite l'est aussi. On considère la suite décroissante