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ESPACES MÉTRIQUES COMPLETS
Il existe une suite (an)nEN et une suite (bn)nEN d'éléments de A convergentes
respectivement vers x et y. La suite
est convergente vers le réel d(x, y) inférieur à ~· Il existe donc un naturel no tel
que
Ainsi,
Vn ~no, d'(f(an), f(bn)) :::; ê.
Or la suite (d'(f(an), f(bn)))nEN converge vers d'(g(x), g(y)). On en déduit, en
passant à la limite que
d'(g(x),g(y)):::; e.
En résumé,
V(x,y) E E 2 ,
Q
d(x,y):::; 2 =? d'(g(x),g(y)):::; e.
L'application g est donc un prolongement uniformément continu de f sur E.
Montrons enfin l'unicité de ce prolongement uniformément continu. Supposons
qu'il existe g1 et g2 deux prolongements uniformément continus de f sur E. L'application h = d' (g1, g2 ) est une application continue sur E et nulle sur A. Soit
x un élément quelconque de E. Considérons une suite (an)nEN d'éléments de A
convergente vers x. On a,
h(x) = lim h(an) =O.
n-++oo
D'où h = 0 et g1 = g2. Le prolongement uniformément continu de f sur E est
unique.
'9
Proposition 4.11 Soient (E, d) un espace métrique, (E', d') un espace
métrique complet, A une partie dense de E et f : A ---+ E' une application
k-lipschitzienne sur A (k E JR+). Alors f se prolonge de manière unique en une
application k-lipschitzienne sur E.
Exemple : Nous avons vu (exemple 3.2, page 31) que toute application à valeur
réelle dérivable sur un intervalle ouvert ]a, b[, et de dérivée bornée, est lipschtizienne. On en déduit qu'elle est prolongeable par une fonction lipschitzienne sur
[a,b].
Preuve. Soit k un réel positif et f une application k-lipschitzienne sur A à valeurs
dans E'. Elle est uniformément continue sur A. D'après la proposition précédente,
il existe une unique application uniformément continue sur E prolongeant f. Cette
application est l'application g définie dans la preuve précédente. Montrons qu'elle
est k-lipschitzienne sur E. Soient x et y deux éléments de E. Considérons deux
suites (an)nEN et (bn)nEN d'éléments de A convergentes respectivement vers x et y.