4.3. PROPRIÉTÉS DES ESPACES MÉTRIQUES COMPLETS
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Alors les suites d(an, bn)no1, (f(an))nE~li (f(bn))nEN et d'(f(an), f(bn))nEN sont
convergentes avec
lim d(an,bn) = d(x,y), lim d'(f(an),J(bn)) = d'(g(x),g(y)).
n-+oo
n-+oo
Or,
Donc, en passant à la limite,
d'(g(x),g(y)):::; kd(x,y).
L'application g est l'unique prolongement de f sur E qui soit k-lipschitzien. '9