4.3. PROPRIÉTÉS DES ESPACES MÉTRIQUES COMPLETS
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4.3.3 Prolongement d'une fonction uniformément continue
Proposition 4.10 Soient (E, d) un espace métrique, (E', d') un espace
métrique complet, A une partie dense de E et f : A - t E' une application
uniformément continue sur A. Alors f se prolonge de manière unique en une
application uniformément continue sur E.
Remarque 4.3 Remarquons l'importance de l'uniforme continuité. En effet, dans
l'exercice 3.1. page 30, la fonction f est continue sur IR.* mais ne peut se prolonger
par continuité en O. On en déduit qu'elle n'est pas uniformément continue sur IR.*.
Preuve. Soit xo un élément de E. Montrons que l'application f admet une limite
en xo. (Ceci est clair si xo appartient à A.) A étant dense dans E, tout élément de
E est adhérent à A. Utilisons la proposition 3.6, page 36. Considérons une suite
(an)nEN d'éléments de A convergente vers Xo. Montrons que la suite (f(an))nEN
est une suite de Cauchy dans E'.
Soit e un réel strictement positif. L'application f étant uniformément continue sur
A, choisissons un réel strictement positif a vérifiant
V(x,y) E A 2 , d(x,y):::; a~ d'(f(x),f(y)):::; e.
La suite (an)nEN étant convergente donc de Cauchy, choisissons un entier no
vérifiant,
On obtient,
Vp ~no, Vp ~no, d'(f(ap), f(aq)) :::; é.
La suite (f(an))nEN est une suite de Cauchy dans (E', d') espace métrique complet.
Elle est convergente vers un élément de E'. Nous avons montré en utilisant la proposition 3.6 que l'application f admet une limite en xo. Nous pouvons maintenant
définir sur E, à valeurs dans E', l'application g par
Vx E E, g(x) = lim f(a).
a-+x
L'application f étant continue sur A, nous avons
Va E A, g(a) = f(a).
L'application g prolonge f sur E. Montrons qu'elle est uniformément continue sur
E.
Soit e un réel strictement positif. Il existe un réel a strictement positif vérifiant
V(a,b) E A 2 , d(a,b):::; a~ d'(f(a),f(b)):::; é.
Soient x et y deux éléments de E vérifiant
O!
d(x,y):::; 2 .