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ESPACES MÉTRIQUES COMPLETS
4.3 Propriétés des espaces métriques complets
4.3.1 Fermés emboîtés
Proposition 4.8 Soient (E, d) un espace métrique complet et (Fn)nEN une
suite décroissante de fermés non vide de E, telle que limn-++oo ô(Fn) = O.
Alors il existe un élément x de E tel que nnENFn = { x}.
Preuve. Pour tout entier naturel n, choisissons un élément Xn du fermé Fn. Montrons que la suite (xn)nEN est une suite convergente. L'espace métrique (E, d)
étant complet, il suffit de montrer qu'elle est de Cauchy. Soit e un réel strictement
positif fixé. Il existe un naturel N tel que
Cette suite de fermés étant décroissante,
donc
Vn 2:: N, Vp 2:: N, d(xn, Xp) < e.
La suite (xn)nEN est de Cauchy donc convergente. On note x sa limite. Soit p un
entier naturel fixé. La suite (xn)n?:v est une suite convergente d'éléments du fermé
Fp. Sa limite x appartient à ce fermé . Donc
Considérons y élément de npENFp. Alors
Vn E N, d(x, y) :::; ô(Fn)·
Puisque limn-++oo(ô(Fn)) = 0, on obtient d(x, y) = 0 et x =y. D'où
4.3.2 Théorème du point fixe
Théorème 4.9 (Du point fixe) Soit (E, d) un espace métrique complet et une
application f : E --t E contractante, c'est-à-dire qu'il existe un réel k E [O, 1 [
vérifiant
V(x,y) E E 2 , d(f(x),f(y)):::; k.d(x,y).
Alors f admet un unique point fixe.
La preuve de ce théorème est effectuée page 134 dans le chapitre 10 consacré aux
suites définies par une récurrence.