4.2. EXEMPLES D'ESPACES MÉTRIQUES COMPLETS
45
Exemple : Tout segment de lR. muni de la métrique usuelle est un espace métrique
complet. Il en est de même des intervalles de la forme [a, +oo[, J - oo, a] où a est
un réel.
Exercice 4.1 On considère (B([-1, lj,IR.), 11· 1100), l'espace vectoriel des applications
bornées définies sur l'intervalle [-1, lj et à valeurs réelles. On munit cet espace de la
norme sup 11-1100 • Soit (Pn)nEfll la suite d'éléments de B([-1, lj,IR) définie par
n
k
Vn EN, Vx E [-1, 1], Pn(x) = L (~) .
k=O
1. Montrer que la suite (Pn)nEfll est convergente et donner sa limite.
2. On considère le sous-espace vectoriel des fonctions polynomiales de (B([-1, 1], JR.).
Montrer que ce sous-espace, muni de la norme sup, n'est pas complet.
Solution.
1.
Vn EN, Vx E [-1, 1),
1 - c~r+l
Pn(x) = 1 _ 2 (~)
Soit f l'élément de B([-1, 1],JR.) défini par
Vx E [-1, lj,
Nous avons,
2
f(x) = - 2 - .
-x
2
1 xn+l
- - - - - -
2-x
2n2-x
Vn EN, Vx E [-1, lj,
1
IPn(x) - f(x)I S 2 n ·
D'où,
VnEN,
1
llPn - J lloo S 2 n
La suite (Pn)nEfll est ainsi convergente vers f
2. La suite de fonctions polynômes (Pn)nEfll est convergente dans B([-1, 1],JR.),
muni de la norme 11-lloo· Sa limite n'est pas une fonction polynôme. Le sousespace des fonctions polynômes n'est pas un fermé de B ( [-1, 1], lR.). Muni de
la norme ll·lloo, Il n'est donc pas complet.
Remarque 4.2 On considère [a, bj un segment. En reprenant l'exemple et les notations de la section 4.2.2, (B([a, b], JR.), 11-1100 ) est un espace vectoriel normé complet. On note C([a,b],!R.), l'espace vectoriel des fonctions continues sur [a,b] à
valeurs réelles. On montrera dans le chapitre 16, théorème 16.4, que (C([a,b],IR.)
est une partie fermée de (B([a, bj, JR.). D'après la proposition 4. 7, l'espace vectoriel
normé (C([a, b], !R.), 11-lloo) est complet.