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ESPACES MÉTRIQUES COMPLETS
C'est-à-dire,
Vx EX, Vn EN, llfn(x)ll :'SM.
On en déduit que
VxEX, llf(x)ll = lim llfn(x)ll :SM.
n-++oo
L'application f est bornée. C'est donc un élément de B(X, E). Montrons qu'elle est
limite dans (B(X,E), 11·11 00 ) de la suite Un)nEN· Soit c un réel strictement positif.
3no EN, Vn 2 no, Vp 2 no, llfn - fplloo :Sc.
Fixons n un entier naturel supérieur ou égal à no. Nous avons
VxEX,
lim llfn(x) - fp(x)ll = llfn(x) - f(x)ll·
p-++oo
Or,
Vx EX, Vp 2 no, llfn(x) - fp(x)ll :Sc.
On en déduit que
Vx EX, llfn(x) - f(x)ll :S é.
D'où,
Vn 2 no, llfn - !Il :Sc.
La suite Un)nEN est donc convergente dans (B(X, E), ll·lloo) vers f. L'espace vectoriel normé (B(X, E), 11·11 00 ) est donc complet.
4' i
4.2.3 Partie fermée d'un espace métrique complet
Proposition 4. 7 Soient (E, d) un espace métrique complet et F une partie
de E. L'espace métrique (F,d) est complet si et seulement si Fest une partie
fermée de E.
Preuve.
1. Supposons F partie fermée de E.
Soit Un)nEN, une suite de Cauchy de F donc de E. Cette suite est convergente dans E, donc dans F car Fest un fermé de E. L'espace métrique (F, d)
est complet.
2. Supposons (F, d), espace métrique complet.
Soit Un)nEN, une suite d'éléments de F convergente vers un élément de
E. Cette suite est une suite de Cauchy de E donc de F. (F, d), étant un
espace métrique complet, la suite Un)nEN converge vers un élément de F.
On conclut à l'aide de la proposition 2.10, page 23, que Fest un fermé de
E.